最近在看高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM），涉及到高斯分布的参数。为此特意回顾了概率论的二维高斯分布的相关概念，并分析了参数对二维高斯分布曲面的影响。

1、多维高斯分布的概率密度函数

　　　
　　多维变量X=(x1,x2,...xn)$X=(x_1,x_2,...x_n)$的联合概率密度函数为：
　　　　　　　f(X)=1(2π)d/2|Σ|1/2exp[−12(X−u)TΣ−1(X−u)],X=(x1,x2...xn)$f(X)=\frac{1}{{(2\pi )}^{d/2}{\left|\mathrm{\Sigma }\right|}^{1/2}}\exp [-\frac{1}{2}(X-u{)}^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(X-u)],X=(x_1,x_2...x_n)$
　　其中：
　　d：变量维度。对于二维高斯分布，有d=2;
　　u=(u1 u2 … un)$u=\left(\begin{array}{l}{u}_1{u}_2\dots u_n\end{array}\right)$：各位变量的均值；
　　Σ$\mathrm{\Sigma }$：协方差矩阵，描述各维变量之间的相关度。对于二维高斯分布，有：

2、均值和协方差矩阵对二维高斯分布的影响

2.1 u=(0 0),Σ=(3003)$u=\left(\begin{array}{l}00\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$

2.2 u=(4 4),Σ=(3003)$u=\left(\begin{array}{l}44\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$

2.3 u=(0 0),Σ=(30010)$u=\left(\begin{array}{l}00\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 10\end{array}\right)$

2.4 u=(0 0),Σ=(10.80.81)$u=\left(\begin{array}{l}00\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}1& 0.8\\ 0.8& 1\end{array}\right)$

2.5 u=(0 0),Σ=(1−0.8−0.81)$u=\left(\begin{array}{l}00\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}1& -0.8\\ -0.8& 1\end{array}\right)$

3、总结

①均值表征的是各维变量的中心，其对二维高斯曲面的影响较好理解，它使得整个二维高斯曲面在xoy平面上移动；
②对于协方差矩阵，对角线上的两个元素，即δ11${\delta }_{11}$和δ22${\delta }_{22}$表征的是x维和y维变量的方差，决定了整个高斯曲面在某一维度上的“跨度”，方差越大，“跨度”越大；
③协方差矩阵的斜对角线上面的两个元素，即δ12${\delta }_{12}$和δ21${\delta }_{21}$（δ12${\delta }_{12}$=δ21${\delta }_{21}$）表征的是各维变量之间的相关性：δ12${\delta }_{12}$>0说明x与y呈正相关（x越大，y越大），其值越大，正相关程度越大；δ12${\delta }_{12}$<0呈负相关；否则不相关。