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【第一章 线性代数】1.2矩阵的行列式
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任务详解：

这节课主要介绍了行列式的引入，行列式的计算与重要性质，行列式按行(列)展开，代数余子式，克莱姆法则，矩阵的逆，矩阵逆的性质等知识点。
掌握目标：
1、了解如何从解方程的角度引入二阶三阶行列式
2、掌握全排列，逆序数，以及n阶方阵行列式的一般运算公式
3、掌握特殊矩阵：对角矩阵，上(下)三角矩阵行列式的公式
4、熟练掌握行列式的性质，以及如何通过变换转为上(下)三角矩阵来简化行列式的计算
5、掌握行列式的按行按列展开，余子式和代数余子式
6、了解克莱姆法则，掌握n*n方程组的解的个数的定理

1.行列式的引入

二阶行列式

行列式最早是从解方程组的角度来的，例如二阶行列式：
用消元法解二元线性方程组：
$\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​a11​x1​+a12​x2​=b1​a21​x1​+a22​x2​=b2​​

为消去未知数$x_2$x2​，以$a_{22}$a22​与$a_{12}$a12​分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得:$(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{1}=b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}$(a11​a22​−a12​a21​)x1​=b1​a22​−a12​b2​

消去未知数$x_1$x1​得：
$(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{2}=a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}$(a11​a22​−a12​a21​)x2​=a11​b2​−b1​a21​
求得方程组的解为
$x_{1}=\frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$x1​=a11​a22​−a12​a21​b1​a22​−a12​b2​​
$x_{2}=\frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$x2​=a11​a22​−a12​a21​a11​b2​−b1​a21​​
公式输入好累，还是截图方便。
若记（D<0>）

则方程组的解可以写为

以上就是引入行列式的内容，那行列式和矩阵什么关系？
如果矩阵记为A，则行列式记为|A|，行列式的值是一个实数，例如：
设有9个数排成3行3列的数表

记为：

三阶行列式

下面称为3* 3数表的三阶行列式。按照此式的定义，三元一次方程组也是满足前面二元一次方程组的行列式表达形式，后面更加通用的克莱姆法则。

注意：
我们已经学过矩阵，所以这里的数表我们就认为是一个3*3的矩阵，对应的行列式称为矩阵的行列式

计算三阶或更加高阶的行列式

1.全排列：比如1，2，3的全排列有哪些。
123/132/213/231/312/321，
也就是n个数的全排列有n!种
2.逆序数：记为t，直接看例子
求排列32514的逆序数.
解在排列32514中：
3排在首位，逆序数为0；
2的前面比2大的数有一个（3），故逆序数为1；
5是最大数，逆序数为0；
1的前面比1大的数有三个（3、2、5），故逆序数为3；
4的前面比4大的数有一个（5），故逆序数为1；
于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+1=5.
下面来计算三阶行列式：

可以看到，总共有六项，每项的$a_{ij}$aij​的第一个系数i都是1.2.3
每项$a_{ij}$aij​的第二个系数j是123这三个数字的全排列，各个全排列的逆序数t为：
123(t=0)
231(t=2)
312(t=2)
—kawayiの分割线—上偶下奇
132(t=1)
213(t=1)
321(t=3)
可以看到逆序数为偶数的为正，奇数为负。所以可以写成：

对于n阶行列式：

推论：对于对角矩阵（主对角矩阵）有

副对角矩阵有：

2.行列式的计算与重要性质

性质1：行列式与它的转置行列式相等：$|A^T|=|A|$∣AT∣=∣A∣
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号
以上两个性质要很熟悉！
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.
性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：

性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.

上式可以根据性质4分两项，第一项和原来的行列式一样，第二项因为后面加上那个部分是成比例，根据性质4为0.
下面是一个行列式计算的例子，总体的思想是把三角区域变成0，最后的行列式的值等于对角线的元素的乘积。其中c是column，r是row。为了避免分数，要计算的元素最好是1.例如刚开始的时候把第二列和第一列互换位置

3.行列式按行（列）展开，代数余子式

降阶处理，用低阶的行列式来算高阶的行列式
先导概念：余子式，代数余子式

引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元$a_{ij}$aij​外都为零，那么这行列式等于$a_{ij}$aij​与它的代数余子式的乘积，即
$D=a_{ij}A_{ij}$D=aij​Aij​
这个引理的证明过程大概思路如下：
第一步，先可以证明这个：
如果有一个行列式，可以分为四块，其中一块为0

记左上和右下为：

则有：$D=D_1D_2$D=D1​D2​
第二步，根据上面的推论，先证（i，j）=（1，1）的情形，此时

这个好证，可以把推论中的$D_1$D1​看做是$a_{11}$a11​，其他的看做是$D_2$D2​
根据推论的结果就可以得到$D=a_{ij}A_{ij}$D=aij​Aij​
第三步，再证明$a_{ij}$aij​在任意位置的情况：

这个时候，把$a_{ij}$aij​所在的行和列进行交换，是的$a_{ij}$aij​变到$a_{11}$a11​位置（每交换一次就要乘一次-1），再利用第二步的结果就可以得证。原文描述如下：

上面啰嗦这么多，主要是为了这个定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

这个东西的证明要用到行列式的性质5.然后把下面式子拆分为n项

接下来拆分

上面的第一项可以写为$a_{i1}A_{i1}$ai1​Ai1​，第二项为$a_{i2}A_{i2}$ai2​Ai2​，…第n项为$a_{in}A_{in}$ain​Ain​。也就是定理得证。
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即

证明过程思想是这样，如果一个正常的行列式要展开，按定理三有：

这个等式左边和推论中的东西不一样，如果我们把行列式中的第j行替换为第i行，变成：

也就是上面等式中的左边的$a_{j1}$aj1​换成了$a_{i1}$ai1​，$a_{j2}$aj2​换成了$a_{i2}$ai2​，…，$a_{jn}$ajn​换成了$a_{in}$ain​，所以等式左边变成了：

也就是推论的左边形式出来了。
这个时候观察第j行替换为第i行后的行列式，根据行列式的推论可知，该行列式为0，本推论都证。
以上三节都是讲行列式的基础知识，下面是行列式的一个重要法则，以及矩阵的逆方面的知识点

4.克莱姆法则

克莱姆法则如下图所示，注意两点：
1、D（系数行列式不能为0）；
2、$D_j$Dj​是把常数项$b$b替换第j列得到的行列式。


定理4：如果线性方程组（11）的系数行列式D≠0，则（11）一定有解，且解是惟一的.
定理4的逆否定理为：
定理4’：如果线性方程组（11）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
对于齐次线性方程组

PS：齐次线性方程组的解一定是有x1~ n都等于0.
定理5：如果齐次线性方程组（13）的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组（13）没有非零解.
定理5’：如果齐次线性方程组（13）有非零解，则它的系数行列式必为零