《数学基础》-2.微积分-2.3.多元微积分

2.3.多元微积分

2.3.1.偏导数

二阶偏导数

2.3.2.多元复合函数的求导法则

2.3.3.方向导数与梯度

以二元函数为例：

t从图像上看实际上就是从到的距离

方向导数：

证明：方向导数可写为：

分别看加号两边的两项，先看左边，分子分母同时乘上

当的时候，所以可以把看做是，上式变成：

根据最上面偏导数的定义公式，把看成一个整体，可转换为：

由于，所以有

再看右边，，分子分母同时乘上：

同样，把看做，上式变为：

根据最上面偏导数的定义公式，上式变为：

证毕

梯度：

为什么梯度方向是变化最快的方向？

已知：x⃗ ,y⃗分别是二元函数f(x,y)在点处沿x,y轴的偏导数，是任意方向的方向导数。

求证：的方向是二元函数f(x,y)在点处变化最快的方向。

证明：

函数f(x,y)在点处沿方向的变化率为

最大等价于点与点(cosθ,sinθ)的内积最大（内积的坐标定义），

将上面的内积化为向量形式：记，，则，其中α是的夹角；

则最大等价于最大，在问题的设定下θ是变量，于是等价于方向平行，而的方向就是的方向，故的方向取的方向时，取到最大变化率。

于是由梯度的数值化定义出发，可以证明梯度方向就是方向导数值最大的那个方向，这个方向就是的方向（注意看它的坐标）。

以上都是在二元函数的情况下进行证明的，同理可以证明多元函数的情况。

2.3.4.多元函数泰勒公式

实际使用中，只要展开的前面两项

可以看到第一项是0次项，第二项是一次项，第三项是二次项，后面的三次项一般都省略不用。

其中第二项可以看做是：

第三项可以看做是：

.

海森矩阵：

中间的海森矩阵是对称矩阵，通项为：

例如矩阵第一行为：

2.3.5.多元函数的极值

这里，A、B、C组成的为海森矩阵

证明：假设(x,y)是领域内的一个点，则在这个点上用泰勒展开得：

之前讨论正定矩阵的时候有过结论：

一个矩阵A是正定矩阵，则在他的左右两边乘以向量及向量转置大于0：

一个矩阵A是负定矩阵，则在他的左右两边乘以向量及向量转置小于0：

一个矩阵A是半正定矩阵，则在他的左右两边乘以向量及向量转置大于等于0：

由上可得：

即是极小值

即是极大值

接下来要判断矩阵啥时候正定，根据正定的定理可知，如果一个矩阵正定，那么它的所有特征值要大于0。如果一个矩阵不正定，那么它的所有特征值要小于0。

    

综上，条件（1）得证，其他两个证明略

2.3.6.矩阵的求导

常见性质