随机变量

设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数. 称X=X(e)为随机变量.

离散型随机变量的概率分布

随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 。

设X所有可能取的值为, 称

       (1)

为离散型随机变量X的分布律。 由概率的定义, 满足如下两个条件

1. 
2. 

分布律也可用表格的形式来表示:

三个重要的离散型随机变量

(0-1)分布  

设随机变量X只可能取0与1两个值, 它的分布律是

       

则称X服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布. (0-1)分布的分布律也可写成

二项分布

用X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则

      

称随机变量X 服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)

当n=1时，二项分布就是(0-1)分布。

泊松分布

 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：

          

其中是常数,则称 X 服从参数为的泊松分布,记作

泊松（Poisson）定理：设是一常数,n是任意正整数,设 则对于任一固定的非负整数k,有

      

定理表明： n比较大, p很小时, 以n , p为参数的二项分布的概率值可以由参数为l=np的泊松分布的概率值近似。

随机变量的分布函数

设X是一个随机变量，称为X的分布函数，记作F(X)。

如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间内的概率。

对任意实数，随机点落在区间内的概率为：

连续型随机变量 及其分布

对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 ,  ，使得对任意实数，有则称 X为连续型随机变量, 称为 X 的概率密度函数，简称为概率密度。

对任意实数，有

对连续型随机变量X , 有

三种重要的连续型随机变量

 均匀分布

指数分布

性质(★)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.

正态分布

标准正态分布

正态分布与标准正态分布的 分布函数之间的关系

若，则

可以认为，X 的取值几乎全部集中在区间内。这在统计学上称作"准则"

标准正态分布的上分位

设，若满足条件，则称点为标准正态分布的上分位。

由的对称性知。

一维随机变量函数的分布

设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），我们利用 X 的分布来求 Y 的分布。