导言

在计算机的运行中，总是会不可避免的与二进制打交道，但是我们又通常使用十进制，所以十进制与二进制的转换就显得有些尤为重要了。小数的二进制与十进制的转换又跟整数略有不同，今天就了解一下小数的二进制与十进制的转换。

二进制的小数

首先看这样一个小数$（100101.1101）_2$（100101.1101）2​
我们吧上面的二进制小数分段得到如下结果
$(100101)_2 . (1101)_2$(100101)2​.(1101)2​
那么其中的整数部分和小数部分一目了然，有了上面的结果之后我们开始对上面的二进制小数进行转换。

二进制小数转十进制

二进制转十进制采用的是先把二进制小数按加权系数形式展开，再相加之后得到其十进制值。

整数部分
$(100101)_2 = 1*2^5+0*2^4+0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0=37$(100101)2​=1∗25+0∗24+0∗23+1∗22+0∗21+1∗20=37
小数部分
$(1101)_2 = 1*2^{-1}+1*2^{-2}+0*2^{-3}+1*2^{-4} =0.8125$(1101)2​=1∗2−1+1∗2−2+0∗2−3+1∗2−4=0.8125
那么我们就得出了这个二进制小数的十进制形式37.8125
我们在将上面两式整合就得到了
$(100101)_2 . (1101)_2=1*2^5+0*2^4+0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0+1*2^{-1}+1*2^{-2}+0*2^{-3}+1*2^{-4} = 37.8125$(100101)2​.(1101)2​=1∗25+0∗24+0∗23+1∗22+0∗21+1∗20+1∗2−1+1∗2−2+0∗2−3+1∗2−4=37.8125

十进制小数转二进制

十进制转二进制同样需要将整数部分和小数部分分开进行处理，再拿上述数字37.8125举例

先处理整数部分37：
整数部分的处理方式是使用短除法，对整数除二取余，余数倒序排列得到的就是其二进制形式。

由上图短除法后得到整数部分的二进制形式
$(37)_{10} = (100101)_2$(37)10​=(100101)2​

再处理小数部分0.8125：
小数部分的处理方式是对小数部分乘2取整，再去小数部分继续乘2取整，直到得到所需的位数或精度位置。

$0.8125 *2 = 1.625$0.8125∗2=1.625 取整数部分1 留小数部分0.625
$0.625 *2 = 1.25$0.625∗2=1.25取整数部分1 留小数部分0.25
$0.25 *2 = 0.5$0.25∗2=0.5取整数部分0 留小数部分0.5
$0.5*2 = 1.0$0.5∗2=1.0 取整数部分1 留小数部分0

将取得的整数部分顺序排列得到小数部分$(1101)_2$(1101)2​

完成上述工作后，将整数部分小数部分相接的到37.8125的小数部分
$(37.8125)_{10} = (100101.1101)_2$(37.8125)10​=(100101.1101)2​
完成转换。