最近在同学安利下入手华科老学长清风的数学建模课程,在这里记录下笔记。做笔记的目的主要是将较长的视频精简成短时间能看完的文档,方便日后复习用,也希望能给予后来者一点帮助。

上节层次分析法中我们提到,如果某一层次的n太大,或者该层次的数据是给定的,则不适合用层次分析法。可以用本节讲解的TOPSIS法。

一、问题引入、数据标准化处理

例题 四名同学本学期的表现如上表所示。请你为四名同学评分,判断谁的表现好。
解：如果单看某一列,四名同学都是容易比较的。但若要综合考虑每一列,每一列的量纲又不同,只看原始数据就不好比较。

  故我们需要对每一列的原始数据作标准化处理,便于统一比较、消除量纲影响。

  先看【成绩】那一列,标准化处理就是每个值除以当前列所有值的平方和。
  计算出来的标准化数值范围在0~1之间。
  对于某位同学的成绩,我们希望其标准化后的数值越大越好,这种称为极大型指标。

  再看【争吵次数】那一列,我们应该是希望其越小越好,称为极小型指标。如果也像上面那样处理的话,计算出来的标准值显然与成绩的标准值不能统一比较。为了两个指标的标准值的统一性,我们需要先把极小型指标转换为极大型指标,转换公式是 x’ = max – x.
  将所有指标转化为极大型指标,称为指标正向化$。^{[1]}$。[1]如果用了可以写在论文上。
  然后,就可以同上述操作对x’进行标准化了。

标准化处理的数学表述

二、计算评分

  得到了数据标准化矩阵Z之后,我们需要根据每位同学的数据来给他们的表现打个总分。
  假如只看成绩这一列,我们可以如下打分
这个公式怎么理解呢？画出数轴来,容易看到这其实就是一个相对值。

  推广到多个指标的情况,定义”最小值点$Z^-$Z− ”和”最大值点$Z^+$Z+”(分别由m维坐标表示)。某位同学对应的点坐标Z就是他对应的那一行的m维向量。则该同学的评分就可以类比上述式子求得。
  数学表述如下：

  上面的计算公式假设了各个指标的重要性(权重)是相同的。如果各个指标的权重不同,则把公式中对距离的计算略作改动即可。$w_j$wj​表示对第j个指标的重视程度。
  各个指标的权重怎么来的呢？就本题而言,题目没明确给出各指标之间的重要性关系、也没有数据,因此这是个主观评价问题,可以用层次分析法来估计指标权重。  补充:还可以用熵权法来得到指标权重,更具客观性。
 

补充知识点

[1] 除了之前说的极大型指标和极小型指标,还有另外两种常见指标。

  中间型指标,即指”到某个中间值的距离$|x_i-x_{best}|$∣xi​−xbest​∣越小越好”,本质上还是极小型指标,故可以用极小→极大型指标的公式,
$max-|x_i-x_{best}|$max−∣xi​−xbest​∣,只不过最后再除以max即可。

  区间型指标同理,只不过区间型只要落在区间内直接为1.区间外的同上处理。

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