数学建模（二）、TOPSIS法（优劣解距离法）

1、什么是TOPSIS法（优劣解距离法）？

TOPSIS 法是一种理想目标相似性的顺序选优技术，在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后的数据规范化矩阵，找出多个目标中最优目标和最劣目标 (分别用理想解和反理想解表示) , 分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离，获得各目标与理想解的贴近度，按理想解贴近度的大小排序，以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在 0～1 之间，该值愈接近 1, 表示相应的评价目标越接近最优水平；反之，该值愈接近 0, 表示评价目标越接近最劣水平。

2、解法步骤

统一指标类型

常见的四种指标

将所有指标转化位极大型称为指标正向化（最常用）

• 极小型指标转换为极大型指标：
  1、公式：$max-x$max−x
  2、如果所有的元素均为正数，那么也可以使用$1/x$1/x

• 中间型指标转换为极大型指标：$M=max\left \{ |x_{i}-x_{best}|\right \},x_{z}=1-(|x_{i}-x_{best}|/M)$M=max{∣xi​−xbest​∣},xz​=1−(∣xi​−xbest​∣/M)

• 区间型指标转换为极大型指标：
  

标准化处理（消除不同指标量纲的影响）

假设有n个需要评价的对象，m个评价指标（全部正向化）构成的正向化矩阵：


通过逐一计算出zij的数值可以列出标准化矩阵Z

通过标准化矩阵计算评分

在标准化矩阵Z中

找出最大值 Z+
$Z^{+}=(Z_{1}^{+},Z_{2}^{+},...,Z_{m}^{+})$Z+=(Z1+​,Z2+​,...,Zm+​)
其中每一个元素为标准化矩阵中该元素所在列的最大值：

找出最小值 Z-
$Z^{-}=(Z_{1}^{-},Z_{2}^{-},...,Z_{m}^{-})$Z−=(Z1−​,Z2−​,...,Zm−​)
其中每一个元素为标准化矩阵中该元素所在列的最小值：

计算出评价对象与最大 / 小值的的距离
最后进行归一化处理

最后得到的S越大则代表目标越优