内容概述
本节首先从齐次线性方程组的入手,研究了解集的向量形式,由此建立了解向量、解空间的思考模式;接着为了完备性,扩展到非齐次线性方程组,说明了从向量、空间的角度线性方程组解集的一般表示形式。总之,本节的重点是建立从向量的线性组合、空间的集合意义的角度来研究线性方程组的解集。
齐次线性方程组
线性方程组称为齐次的,若它可写成Ax=0的形式。其中A是m×n矩阵而0是Rm中的零向量(从向量的角度看,就是说A的各列生成了0向量)。
显然,齐次线性方程组至少有一个解,即x=0,这个解称为它的平凡解。对给定方程Ax=0,重要的是它是否有非平凡解,即满足Ax=0的非零向量0。
回顾1.2节关于解的存在性与唯一性的讨论:
若线性方程组相容,则它的解集可能有两种情形:1. 当没有*变量时,有唯一解; 2. 若至少有一个*变量,则有无穷多解。
由上述结论,可以得知,对于齐次方程来说:
当没有*变量时,存在唯一解,即x=0
有平凡解当且仅当方程至少有一个*变量
例:
确定下列齐次方程组是否有非平凡解,并描述它的解集:
3x1+5x2−4x3=0−3x1−2x2+4x3=06x1+x2−8x3=0
解:
该方程组的系数矩阵可以化简为如下的简化阶梯形:
⎣⎡100010−3400000⎦⎤
由此可知,x1,x2是基本变量,x3是*变量。Ax=0的通解可以写成如下向量形式:
x=⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎡34x30x3⎦⎤=x3⎣⎡3401⎦⎤=x3v
其中,v=⎣⎡3401⎦⎤
从上面解集的向量表示,可以看出,从几何意义来看,解集是R3
中通过0的直线,且每个解都是向量v的倍数。
同理,若一个方程的解集有两个*变量,例如,解集如下所示:
x=x2⎣⎡0.310⎦⎤+x3⎣⎡0.201⎦⎤
那么,解集就是一个平面:
上述两个例子说明了,齐次方程Ax=0总可以表示为Span{v1,⋯,vp}(由于方程式右边全为0,因此基本变量要么是0,要么是*变量的组合,因此解集可以拆分成以*变量为系数的几个固定向量的和,意即解集可以表示成Rn中几个固定向量的线性组合,这一思想非常重要)。若唯一解是零向量,则解集就是Span{0}。若方程Ax=0仅有一个*变量,则解集就是通过原点的一条直线,若有两个或更多个*变量,上述平面就是一个很好的图形说明。
参数向量的形式
上述方程组的形式,是几何表示中直线或平面的隐式描述,解次方程就是要找到几何表示的显式描述,就是说,将它作为例如上图中,u和v所生成的子集。形如x=su+tv的形式称为平面的参数向量形式。
也就是说,齐次线性方程组的解集可以写成某几个固定向量的线性组合的形式。
非齐次方程组的解
当非齐次线性组有许多解时,通解一般也可以表示为参数向量形式,即由一个向量加上满足对应的齐次线性方程的一些向量的任意线性组合的形式。
例:
描述Ax==b的解,其中
A=⎣⎡3−365−21−44−8⎦⎤
b=⎣⎡7−114⎦⎤
解:
对[Ab]做行变换得:
⎣⎡100010−3400−120⎦⎤
写成方程形式为:
x1−34x3=−1x2=20=0
因此,解集可写为:
x=⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎡−1+34x32x3⎦⎤=⎣⎡−120⎦⎤+⎣⎡34x30x3⎦⎤=⎣⎡−120⎦⎤+x3⎣⎡3401⎦⎤
方程可写为如下形式:
x=p+tv
其中Ax=0的解集有如下的参数向量形式:
x=tv
向量p本身可作为Ax=b的一个特解(对应t=0)
从几何意义来看,若直线L上每一点被平移p,就得到一条平行于L的直线。
设L是通过0与v的直线,L的每个点加上p后得到平移后的直线,注意,p也在平移后的直线上。于是,Ax=b的解集是一条通过p而平行于Ax=0的解集(tv)的直线。
下列定理做了总结:
设方程Ax=0对某个b是相容的,p为一个特解,则Ax=b的解集是所有形如w=p+vh的向量的集,其中vh是齐次方程Ax=0的任意一个解。
下面描述了R3中有两个*变量的情况:
把解集表示成参数向量形式的步骤
- 把增广矩阵行化简为简化阶梯形
- 把每个基本变量用*变量表示
- 把一般解x表示成向量,如果有*变量,其元素依赖于*变量
- 把x分解为向量(元素为常数)的线性组合,用*变量作为参数