高斯滤波器

要将不同的高斯逼近统一为非线性变换，可进行如下的高斯积分逼近计算：

要是上述积分可以计算，那么就可以直接进行分布矩匹配，来对$\bm{x,y}$x,y的逼近。

噪声可叠加型高斯滤波器

叠加变换通式：（后面的叠加变换中省略）

叠加变换的高斯矩匹配：

基于矩匹配高斯逼近的$\bm{x,y}$x,y分布如下：

叠加噪声的高斯（卡尔曼）滤波器：

预测步骤，利用系统动态模型:$\bm{f(\cdot)}$f(⋅)计算预测均值和预测协方差：

更新步骤，利用系统量测模型:$\bm{h(\cdot)}$h(⋅)计算预测均值，l量测量预测协方差，状态量与量测量之间的互协方差和滤波增益，滤波均值与方差。（各个变量计算公式按照顺序给出）

噪声不可叠加型高斯滤波器

非爹在变换的通式：（后面的非叠加变换中省略）

非叠加变换的高斯矩匹配：
基于矩匹配高斯逼近的$\bm{x,y}$x,y的联合部分为：

非叠加噪声高斯（卡尔曼）滤波器的预测与更新过程：
（所需要计算的量与叠加噪声滤波器一致）

Guass-hermite 卡尔曼滤波器

一维Guass-Hermite积分是指对函数和单位权值函数的积求积分的特例，其逼近形式为：
其中，$\bm{W_i}$Wi​是权值，$\bm{x^{(i)}}$x(i)为估计点或横坐标，有时也称为$\bm{sigma}$sigma点。
选择权值和$\bm{sigma}$sigma点的准则是构造$\bm{Hermite}$Hermite多项式进行逼近。如下所示：
其中，$\bm{p}$p是阶数。
在相同的权值和$\bm{sigma}$sigma点下，非单位高斯权数函数$\bm{N(x|m,p)}$N(x∣m,p)的积分，可通过换元法变为单位高斯权函数计算，其表达式为：

Gauss-Hermite积分算法

设一维积分的表达式为：

以上是对一维$\bm{p}$p阶Guass-Hermite逼近；

1).计算$\bm[Hermite]$[Hermite]多项式的根$\bm[\xi^{(i)}],i=1,\cdot\cdot\cdot,p$[ξ(i)],i=1,⋅⋅⋅,p，将其作为单位$\bm{sigma}$sigma点。这里将三对角矩阵的特征值作为根，并未构建多项式并计算多项式的根。

2).计算权值：

3). 积分近似为：

Gauss-Hermite容积算法

设多维积分的表达式为：

1). 先计算出一维权值$\bm{W_{i}}$Wi​和单位$\bm{sigma}$sigma点，$\bm\xi^{(i)},i=1,\cdot\cdot\cdot,p$ξ(i),i=1,⋅⋅⋅,p。
2). 利用一维权值和一维单位$\bm{sigma}$sigma点计算多维权值和多维单位$\bm{sigma}$sigma点。3). 积分近似为：

叠加型$\bm{Gauss-Hermite}$Gauss−Hermite卡尔曼滤波（GHKF）算法：

预测步骤：
1). 选取$\bm{sigma}$sigma点：
2). 将 $\bm{sigma}$sigma点带入动态模型：
3). 计算预测均值和预测协方差：

更新步骤：
1). 选取$\bm{sigma}$sigma点：
2). 将 $\bm{sigma}$sigma点带入量测模型：
3). 计算预测均值，量测量的预测协方差和状态量和量测量之间的互协方差：
4). 结合量测量$\bm{y_k}$yk​，计算滤波增益，滤波均值和协方差。

非叠加类型与叠加类型一致，但对于Guass-Hermite积分运算的增广状态量维数增加，在计算上较复杂。

容积卡尔曼滤波器

球面容积积分：

多维积分表达式为：
则多维积分三阶球面逼近算法为：
1). 计算单位$\bm{sigma}$sigma点：
其中，$\bm{e_i}$ei​为坐标轴$\bm{i}$i轴上的单位向量。
2). 逼近积分为：

这种积分逼近为无迹变换在参数$\bm{\alpha=1,\beta=0,\kappa=0}$α=1,β=0,κ=0的一个特例。

（噪声）叠加型容积卡尔曼滤波器CKF

预测步骤：
1). 构造$\bm{sigma}$sigma点：
其中，$\bm{sigma}$sigma点定义式为：
2). 将$\bm{sigma}$sigma点带入动态方程：
3). 计算预测均值，预测协方差：

更新步骤：
1). 构造$\bm{sigma}$sigma点：
2). 将$\bm{sigma}$sigma点带入量测方程：
3). 计算预测均值，量测量的预测协方差和状态量与量测量之间的互协方差：
4). 结合量测量，计算滤波器增益，滤波均值和协方差：

（噪声）非叠加型容积卡尔曼滤波

预测步骤：
1). 对增广矩阵$\bm{(x_{k-1},q_{k-1})}$(xk−1​,qk−1​)构造$\bm{sigma}$sigma点：
这里，$\bm{n^{'}=n+n_q}$n′=n+nq​，为状态量与噪声的维数之和。$\bm{sigma}$sigma点的定义为：
2). 将$\bm{sigma}$sigma点带入动态方程：
这里，$\bm{\widetilde{\chi}^{(i),x}_{k-1}}$χ​k−1(i),x​，$\bm{\widetilde{\chi}^{(i),q}_{k-1}}$χ​k−1(i),q​分别是$\bm{\widetilde{\chi}^{(i)}_{k-1}}$χ​k−1(i)​的前$\bm{n}$n项和后$\bm{n_q}$nq​项。

3). 计算预测均值和预测协方差：

更新步骤：
1). 对增广变量$\bm{(x_k,r_k)}$(xk​,rk​)构造$\bm{sigma}$sigma点:
这里，$\bm{n^{''}=n+n_r}$n′′=n+nr​，为状态量的维数和量测噪声的维数之和。单位$\bm{sigma}$sigma点$\bm{\xi^{(i)^{''}}}$ξ(i)′′的定义与预测过程的一致，只是将$\bm{n^{''}}$n′′代替$\bm{n^{'}}$n′。
2). 将$\bm{sigma}$sigma点带入量测方程：
这里，$\bm{\widetilde{\chi}^{-(i),x}_{k}}$χ​k−(i),x​，$\bm{\widetilde{\chi}^{-(i),q}_{k}}$χ​k−(i),q​分别是$\bm{\widetilde{\chi}^{-(i)}_{k}}$χ​k−(i)​的前$\bm{n}$n项和后$\bm{n_r}$nr​项。

3). 计算预测均值，量测量的预测协方差和量测量与状态量的互协方差：
4). 结合量测量$\bm{y_k}$yk​，计算滤波器增益，滤波状态均值和协方差：

本章总结到此结束，上