导数：

导数不仅仅表示该点切线的斜率，还反应了函数在该点的变化率。

偏导数：

偏导数仅仅是表示某点在x方向的导数和再y轴方向的导数。

这反应了偏导数的局限性，仅仅是多元函数沿着坐标轴的变化率，但是如上图，在M0点处存在很多方向的偏导数（并不仅仅x和y方向）。这就引出了方向导数。

方向导数：

我们不仅仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数）还需要设法求得函数在其他方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。

方向导数的定义和导数定义类似，只不过是在多个维度上。例如在三维空间中：

设三元函数f在点P0（x0，y0，z0）的某邻域内有定义，l为从点P0出发的射线，P（x，y，z）为l上且含于邻域内的任一点，以ρ（rou）表示P和P0两点间的距离。若极限lim（ (f(P)-f(P0)) / ρ ）= lim （△l f / ρ）（当ρ→0时）存在，则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数

梯度:

由上面的方向导数可知，方向导数是在各个方向上都有，而且每个方向上的变化一般是不一样的，那到底沿哪个方向最大呢?沿哪个方向最小呢?为了研究方便,就有了梯度的定义。

下图是梯度的定义：

梯度是众多方向导数中最大(方向指向数值增长最快的方向，大小为变化率)的那个向量，这个方向就用梯度来表示（grad=ai+bj）这个向量来表示，其中a是函数在x方向上的偏导数，b是函数在y方向上的偏导数，梯度的模就是这个最大方向导数的值。
参考：http://www.matongxue.com/madocs/222.html#/madoc

梯度与导数的关系 (一元导数k,梯度k*i  )

 梯度可谓是多元函数中一个基本的名词。它的物理意义：方向指向数值增长最快的方向，大小为变化率(学习率)。通过这个性质也说明梯度是有方向和大小的矢量。通过梯度的定义我们发现，梯度的求解其实就是求函数偏导的问题，而我们高中所学的导数在非严格意义上来说也就是一元的“偏导”。通过这一点我们自然而然地想到梯度应该是导数向更高维数的推广。然而一我一直想不明白的是：  梯度是矢量而某点的导数是个常量，两者应该有本质的区别，而导数的正负也反映了函数值的大小变化，而不是一直指向数值增大的方向。

 在此我们通过一张图来说明解释一下两者的关系：

其实一元函数肯定也有梯度，我们经常不提及的原因其实很简单：一元函数的梯度方向自变量轴（x）！而导数值的正负号决定了这个方向是正方向还是反方向。如图所示，A点右＂领域＂的导数为正值，则梯度的方向跟x轴正方向一致，梯度方向指向数值增大的方向；相反在B点右＂领域＂，导数为负值，则梯度的方向为x轴的负方向，梯度方向也是指向数值增大的方向。通过这个例子向多维函数推广，梯度从数值小指向数值大的物理意义也就容易理解了。而一元函数的大小自然也就是导数的绝对值。
 

方向导数与梯度实例

一、方向导数

现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题.

定义 设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线.设轴正向到射线的转角为（逆时针方向：0；顺时针方向：0），并设＇(+△,+△)为上的另一点且＇∈.我们考虑函数的增量(+△,+△)－与、＇两点间的距离的比值.当＇沿着趋于时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数在点沿方向的方向导数，记作，即

                              (1)

从定义可知，当函数在点的偏导数x、y存在时，函数在点沿着轴正向=，轴正向=的方向导数存在且其值依次为x、y，函数在点沿轴负向=，轴负向=的方向导数也存在且其值依次为-x、-y.

关于方向导数的存在及计算，我们有下面的定理.

定理  如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有

                                                    (2)

其中为轴到方向的转角.[360度]  cos(r)[email protected]/@x

证  根据函数在点可微分的假定，函数的增量可以表达为

           

(直接相加不好吧),向量,a--b;ax-by;ay;bx;  x,y正交 独立

两边各除以，得到

                     

所以                 

这就证明了方向导数存在且其值为

                           

例8-26 求函数=在点处沿从点到点 方向的方向导数.

解  这里方向即向量=的方向，因此轴到方向的转角，

因为                  

在点 ，,.故所求方向导数

                  

例8-27 设由原点到点的向径为，轴到的转角为，轴到射线的转角为，求，其中=   .    

解  因为    

                 .

所以            

由例8-26可知，当时，,即沿着向径本身方向的方向导数为1;而当时，, 即沿着与向径垂直方向的方向导数为零.

对于三元函数=来说，它在空间一点沿着方向 (设方向的方向角为的方向导数，同样可以定义为

                               (3)

其中，△=,△=,△=.

同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向的方向导数为

                     

二、 梯度

1.梯度的定义

与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.

定义 设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量

                             

这向量称为函数=在点的梯度，记作，即

                     =

如果设是与方向同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知

           

这里，(＾，e)表示向量与的夹角.由此可以看出，就是梯度在射线上的投影，当方向与梯度的方向一致时，有

                       (＾，) 1，

从而有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说,梯度的方向是函数在这点增长最快的方向.因此，我们可以得到如下结论:

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值.

由梯度的定义可知，梯度的模为

                    

当不为零时，那轴到梯度的转角的正切为

                                 

我们知道，一般说来二元函数在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线的方程为

                                

这条曲线在面上的投影是一条平面曲线（图8―10），它在平面直角坐标系中的方程为

                                

对于曲线上的一切点，已给函数的函数值都是，所以我们称平面曲线为函数的等高线.

由于等高线上任一点处的法线的斜率为

                         ,

所以梯度                       

为等高线上点处的法向量，因此我们可得到梯度与等高线的下述关系：函数在点的梯度的方向与过点的等高线在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线（图8―10），而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向.

例8-28  求

解 这里   

   因为      

所以  

3.数量场与向量场

如果对于空间区域内的任一点，都有一个确定的数量，则称在这空间区域内确定了一个数量场（例如温度场、密度场）等.一个数量场可用一个数量函数来确定.如果与点相对应的是一个向量，则称在这空间区域内确定了一个向量场（例如力场，速度场等）.一个向量场可用一个向量函数来确定，而

                  ,

其中是点的数量函数.

利用场的概念，我们可以说向量函数确定了一个向量场——梯度场，它是由数量场产生的.通常称函数为这个向量场的势.而这个向量场又称为势场.必须注意，任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场.

小结：本节主要研究函数在一点沿某一方向的变化率问题，给出方向导数的定义及其相关的梯度的定义，推导出方向导数和梯度的求法，并通过梯度的意义介绍了等高线、等量面、数量场与向量场等概念.

作业：

１．求函数在点（１，２）处沿从点（１，２）到点（２，２＋）的方向的方向导数．

２．求函数在抛物线上点（１，２）处，沿着这抛物线在该点处偏向ｘ轴正向的切线方向的方向导数．

３．求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数．