您的位置: 首页  >  文章  >  MIT_单变量微积分_09

MIT_单变量微积分_09

分类: 文章 • 2024-12-19 18:53:46

1. 曲线构图

目的 ：利用f′,f′′f',f''的正负值绘制复杂的函数图形。
规则如下:

  • f′>0⇒f递增.f' > 0 \Rightarrow f递增.
  • f′<0⇒f递减.f'<0 \Rightarrow f递减.
  • f′′>0⇒f′递增.f'' >0 \Rightarrow f'递增.(凸函数)
  • f′′<0⇒f′递减.f'' <0 \Rightarrow f'递减.（凹函数）

Ex:
f(x)=3x−x3f(x) = 3x-x^3.
f′(x)=3−3x2=3(1+x)(1−x)f'(x)=3-3x^2=3(1+x)(1-x)
由上式子可以得出以下结论：

  • −1<x<1⇒f′(x)>0⇒f递增-1<x<1 \Rightarrow f'(x) >0 \Rightarrow f 递增
  • x>1⇒f′(x)<0⇒f递减x >1 \Rightarrow f'(x) <0 \Rightarrow f 递减
  • x<−1⇒f′(x)<0⇒f递减x < -1 \Rightarrow f'(x) <0 \Rightarrow f 递减

简图如下所示：
MIT_单变量微积分_09
驻点：f′(x)=0f'(x)=0的点x0x_0为驻点，其f′(x0)f'(x_0)为驻点值。
根据上式可知：x=±1，f(1)=2,f(−1)=−2x= \pm 1，f(1) = 2, f(-1)= -2.
MIT_单变量微积分_09
拐点：f′′(0)=0f''(0) = 0时的x值。
由f′′(x)=−6x.可知：由f''(x) = -6x.可知：
当x<0x < 0时，f′′>0⇒f′递增.f'' >0 \Rightarrow f'递增.(凸函数)
当x>0x >0时，f′′<0⇒f′递减.f'' <0 \Rightarrow f'递减.（凹函数）
当x>+∞x >+\infty时，f(x)=3x−x3⇒−∞,(3x可以忽略低阶)f(x) = 3x-x^3 \Rightarrow -\infty,(3x可以忽略低阶)
当x>−∞x >-\infty时，f(x)⇒+∞f(x) \Rightarrow + \infty

Ex 绘制f(x)=x+1x+2f(x) = \frac{x+ 1}{x+ 2}的图形。

因f′(x)=1(x+2)2≠0f'(x) = \frac{1}{(x+2)^2} \neq 0, 所以无驻点。
f((−2)+)=−2+1(−2)++2=−10+=−∞f((-2)^+)=\frac{-2+1}{(-2)^++2}=\frac{-1}{0^+}=- \infty
f((−2)−)=−2+1（−2)−+2=−10−=+∞f((-2)^-)=\frac{-2+1}{（-2)^-+2}=\frac{-1}{0^-}=+\infty
分别考虑两个最远端:
x→±∞,f(x)=x+1x+2=1+1x1+2x→1x\rightarrow \pm \infty,f(x) = \frac{x+ 1}{x+2}=\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}} \rightarrow 1
MIT_单变量微积分_09
导数：x+1x+2=x+2−1x+2=1−1x+2=0\frac{x+1}{x+2}=\frac{x+2-1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2}= 0.

f′(x)=1(x+2)2>0,(x≠−2)f'(x)=\frac{1}{(x+2)^2} >0,(x\neq -2),原函数递增。

f′′(x)=−2(x+2)3,(x≠−2)f''(x)=\frac{-2}{(x+2)^3},(x\neq -2)

f′′(x)<0,(−2<x<+∞),凹函数f''(x)<0,(-2<x<+\infty),凹函数

f′′(x)>0,(−∞<x<−2),凸函数f''(x)>0,(-\infty<x<-2),凸函数

2. 总结：

  • 无驻点，找出±∞,无限远端，容易标出的点。\pm \infty,无限远端，容易标出的点。
  • 有驻点，标出驻点，以及其值。
  • 判断f′f'在驻点或无限远端的正负性。
  • 判断f′′f''，判断凹凸、拐点。

Ex:f(x)=xlnx,x>0f(x) = \frac{x}{lnx},x > 0

  • f(1+)=+∞f(1^+) = +\infty,f(1−)=−∞f(1^-)=-\infty
  • f(0+)=0+−∞=0，f(∞)=+∞f(0^+)=\frac{0^+}{-\infty}=0，f(\infty)=+\infty
  • f′(x)=lnx−1(lnx)2(x≠1,x>0)f'(x)=\frac{lnx - 1}{(lnx)^2}(x \neq 1,x > 0)
    • f′(x)=0,x=ef'(x)= 0,x= e
    • f′(x)<0,x<ef'(x)<0,x <e
    • f′(x)>0,x>ef'(x)>0,x > e
  • f′′(x)=−(lnx)−21x+2(lnx)−11x=2−lnxx(lnx)3f''(x)=-(lnx)^{-2}\frac{1}{x}+2(lnx)^{-1}\frac{1}{x}=\frac{2-lnx}{x(lnx)^3}
    • f′′(x)<0,0<x<1，凹函数f''(x) <0, 0< x< 1，凹函数
    • f′′(x)>0,1<x<e2,凸函数f''(x)>0, 1 < x < e^2,凸函数
    • f′′(x)<0,e2<x<+∞,凹函数f''(x) < 0, e^2 <x< +\infty,凹函数

如图所示：
MIT_单变量微积分_09

相关推荐