MIT_单变量微积分_16

1.定积分

Ex:计算区域的面积。

(1)使用举行将其分成许多小块矩形。

Ex1:$f(x)=x^2(a=0) 如图所示：$f(x)=x2(a=0)如图所示：

将其分成$n$n份矩形，每个矩形的长度为$\frac{b}{n}$nb​,得出：

$S=\frac{b}{n}(\frac{b}{n})^2+\frac{b}{n}(\frac{2b}{n})^2+\frac{b}{n}(\frac{3b}{n})^2+\frac{b}{n}(\frac{4b}{n})^2+...+\frac{b}{n}(\frac{nb}{n})^2\\ =(\frac{b}{n})^3(1+2^2+3^2+4^2+....+n^2)\\ =???$S=nb​(nb​)2+nb​(n2b​)2+nb​(n3b​)2+nb​(n4b​)2+...+nb​(nnb​)2=(nb​)3(1+22+32+42+....+n2)=???
$\frac{1}{3}n^3 \leq (1+2^2+3^2+4^2+....+n^2) \leq \frac{1}{3}(n+1)^2(n+1)$31​n3≤(1+22+32+42+....+n2)≤31​(n+1)2(n+1)
这个式子也就是所谓的夹逼准则，至于几何推论可以想象以下那个金字塔的例子。
$\frac{1}{3} \leq \frac{(1+2^2+3^2+4^2+....+n^2)}{n^3} \leq \frac{1}{3}\frac{(n+1)^3}{n^3}=\frac{1}{3}(1+\frac{1}{n})^3 ,n\rightarrow \infty 时=\frac{1}{3}$31​≤n3(1+22+32+42+....+n2)​≤31​n3(n+1)3​=31​(1+n1​)3,n→∞时=31​
Ex2:黎曼猜想：
把小矩形的长度变得很小很小。

$\sum_{i=1}^{n}f(ci) \Delta x (这个就是黎曼和)\rightarrow \int_a^b f(x)dx$i=1∑n​f(ci)Δx(这个就是黎曼和)→∫ab​f(x)dx