MIT_单变量微积分_05

1. 隐函数微分法和逆函数求导

Ex:$y=x^{\frac{m}{n}}.求y的导数。$y=xnm​.求y的导数。
等式两边同时乘以$n$n，可得：
$y^n=x^m\\ \frac{d}{dx}y^n=\frac{d}{dx}x^m\\ny^{n-1}\frac{d}{dx}=mx^{m-1}\\\frac{dy}{dx}=\frac{mx^{m-1}}{ny^{n-1}}\\=\frac{m}{n}\cdot\frac{x^{m-1}}{y^{n-1}}\\=\frac{m}{n}\cdot x^{m-1-\frac{m}{n}(n-1)}\\=ax^{a-1}$yn=xmdxd​yn=dxd​xmnyn−1dxd​=mxm−1dxdy​=nyn−1mxm−1​=nm​⋅yn−1xm−1​=nm​⋅xm−1−nm​(n−1)=axa−1
Ex: $x^2+y^2= 1，求y的导数。$x2+y2=1，求y的导数。.

• 正常求导：
  由上式可知： $y^2=1-x^2;y=+\sqrt{1-x^2}=(1-x^2)^{\frac{1}{2}} ，这里只考虑了y为正的情况。$y2=1−x2;y=+1−x2​=(1−x2)21​，这里只考虑了y为正的情况。
  得：$y'=\frac{1}{2}(1-x^2)(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$y′=21​(1−x2)(−2x)=1−x2​−x​

• 隐式求导：$\frac{d}{d\space x}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}1\\2x+2yy'=0\\y'=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$d xd​(x2+y2)=dxd​12x+2yy′=0y′=−2y2x​=−yx​

Ex:$y^4+xy^2-2=0,求y的导数。$y4+xy2−2=0,求y的导数。

• 正常求导：
  由求根公式可知： $y^2=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-4\cdot(-2)}}{2},y=\pm\sqrt{\frac{-x\pm\sqrt{x^2-4\cdot(-2)}}{2}}$y2=2−x±x2−4⋅(−2)​​,y=±2−x±x2−4⋅(−2)​​​
  从上式子可以看出，y是一个非常复杂的式子，求导是非常困难的。

• 隐式求导：
  $4y^3y' + y^2+2xyy'=0\\ y'=-\frac{y^2}{4y^3+2xy}$4y3y′+y2+2xyy′=0y′=−4y3+2xyy2​
  当x=1,y=1时，求上式子的斜率,$y'=\frac{-1}{4+2}=-\frac{1}{6}$y′=4+2−1​=−61​

2. 反函数

Ex: $y=\sqrt{x},(x>=0),y^2=x.$y=x​,(x>=0),y2=x.
$f(x)=\sqrt{x},g(y)=x,g(y)=y^2.$f(x)=x​,g(y)=x,g(y)=y2.

Define：$y=f(x),g(y)=x$y=f(x),g(y)=x
$g(f(x))=x,g=f^{-1},f=g^{-1}$g(f(x))=x,g=f−1,f=g−1

几何解释：关于函数$y=x$y=x对称。

2.1 隐函数求导任意反函数，只需知道原函数的导数

Ex: $y = tan^{-1}x=arctan\space x$y=tan−1x=arctan x
反函数表示为;$tan\space y = x$tan y=x.

由图可知：$\lim_{x \to \infty}tan^{-1}x=\frac{\pi}{2}$limx→∞​tan−1x=2π​

$\frac{d \space tan \space y}{dy}=\frac{d}{d\space y}\frac{sin\space y}{cos\space y}$dyd tan y​=d yd​cos ysin y​

由除数法则，可得，$\frac{d \space tan \space y}{dy}=\frac{1}{cos^2y}$dyd tan y​=cos2y1​.
$\frac{d}{dx}(tany=x)\\ (\frac{d}{dx}tany)\frac{dy}{dx}=1\\ \frac{1}{cos^2y}y'=1\\ y'=cos^2y\\ \frac{d}{dx}tan^{-1}x=cos^2(tan^{-1}x)\frac{1}{1+x^2}$dxd​(tany=x)(dxd​tany)dxdy​=1cos2y1​y′=1y′=cos2ydxd​tan−1x=cos2(tan−1x)1+x21​

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由上图可知：$cos\space y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},cos^2\space y=\frac{1}{1+x^2}$cos y=1+x2​1​,cos2 y=1+x21​

所以：$\frac{d}{dx}tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$dxd​tan−1x=1+x21​

Ex: $求y=sin^{-1}x的导数。$求y=sin−1x的导数。
原式可转化为$sin\space y=x$sin y=x.
等式两边同时进行微分处理可得：
$cosyy'=1\\ y'=\frac{1}{cosy}\\ y'=\frac{1}{\sqrt{1-sin^2y}}\\ y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$cosyy′=1y′=cosy1​y′=1−sin2y​1​y′=1−x2​1​