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MIT_单变量微积分_18

分类: 文章 • 2024-12-19 20:31:40

1.微积分第二基本定理

均值定理：
ΔF=F(b)−F(a),Δx=b−aΔF=∫abf(x)dx(FTC1)ΔFΔx=1b−a∫abf(x)dx,相等于将f平分。ΔF=Avg(F′)⋅Δx≤(maxF′)Δx(minF′)Δx≤ΔF=F′(c)Δx(MVT)≤(maxF′)Δx\Delta F=F(b)-F(a),\Delta x = b- a\\ \Delta F= \int_a^bf(x)dx(FTC1)\\ \frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx,相等于将f平分。\\ \Delta F=Avg(F')\cdot\Delta x \leq(maxF')\Delta x\\ (minF')\Delta x \leq \Delta F=F'(c)\Delta x(MVT) \leq (maxF')\Delta x

Ex:F′(x)=1x+1,F(0)=1F'(x)=\frac{1}{x+1},F(0)=1，由均值定理推断可知：A<F(4)<BA<F(4)<B,A和BA和B分别等于多少？
F(4)−F(0)=F′(C)∗(4−0)=1c+1⋅411+4=45≤1c+1⋅4≤4=11+0⋅495≤F(4)≤5F(4)-F(0)=F'(C)*(4-0)=\frac{1}{c+1} \cdot 4\\ \frac{1}{1+4}=\frac{4}{5} \leq \frac{1}{c+1} \cdot 4 \leq 4= \frac{1}{1+0} \cdot 4\\ \frac{9}{5} \leq F(4) \leq5

  • 解释-FTC1:
    F(4)−F(0)=∫0411+xdx<∫04dx=4F(4)-F(0)=\int_0^4\frac{1}{1+x}dx <\int_0^4dx=4
    F(4)−F(0)=∫0411+xdx>∫0415dx=45F(4)-F(0)=\int_0^4\frac{1}{1+x}dx > \int_0^4\frac{1}{5}dx=\frac{4}{5}
    几何意义：下黎曼和<黎曼和<上黎曼和下黎曼和<黎曼和<上黎曼和
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    FTC2:已知函数ff是连续的，G(x)=∫axf(t)dt(a≤t≤x),G′(x)=f(x),G(x)可解出方程G(x)=\int _a^xf(t)dt(a\leq t \leq x),G'(x)=f(x),G(x)可解出方程
    {y′=fy(a)=0\left\{\begin{matrix} y'=f& \\ y(a)=0& \end{matrix}\right.
    Ex:ddx∫1xdtt2=1x2\frac{d}{dx}\int_1^x\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{x^2}
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    ΔG≈Δxf(x)\Delta G\approx \Delta xf(x)
    lim⁡Δx→0ΔGΔx=f(x)\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta G}{\Delta x}}=f(x)

FTC1 证明：
F′=f,假设f连续G(x)=∫axf(t)dt由FTC2⇒G′(x)=f(x)F′(x)=G′(x)⇒F(x)=G(x)+CF(b)−F(a)=(G(b)+C)−(G(a)+C)=G(b)−G(a)=∫abf(x)dx−0F'=f,假设f连续\\ G(x)=\int_a^xf(t)dt\\ 由FTC2 \Rightarrow G'(x)=f(x)\\ F'(x)=G'(x) \Rightarrow F(x)=G(x) +C\\ F(b)-F(a)=(G(b)+C)-(G(a)+C)\\ =G(b)-G(a)\\ =\int_a^bf(x)dx-0

Ex:L′(x)=1x,L(1)=0,L(x)=∫1xdttL'(x)=\frac{1}{x},L(1)=0,L(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}

Ex:
新函数：y′=e−x2,y(0)=0,F(x)=∫0xe−t2dty'=e^{-x^2},y(0)=0,F(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt
如图所示：时钟函数。y=e−x2y=e^{-x^2}
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