Chapter 3 线性代数回顾

3.1 矩阵和向量

• 图1：

• 图2：

  

• 图3：我们通常使用1-indexed vector，有些情况下会换成 0-indexed。

  

• 通常 用 A,B,C,D 等大写英文字母表示矩阵，a,b,x,y 小写字母表示数字、标量、向量等。

3.2 加法和标量乘法

矩阵的加法：行列数相等的可以加。

矩阵的乘法：每个元素都要乘

组合算法也类似。

3.3 矩阵向量乘法

矩阵和向量的乘法如图：$m×n$m×n的矩阵乘以$n×1$n×1的向量，得到的是$m×1$m×1的向量

算法举例：

3.4 矩阵乘法

$m×n$m×n矩阵乘以$n×o$n×o矩阵，变成$m×o$m×o矩阵。

如果这样说不好理解的话就举一个例子来说明一下，比如说现在有两个矩阵$A$A和$B$B，那么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

3.5 矩阵乘法的性质

矩阵乘法的性质：

矩阵的乘法不满足交换律：$A×B≠B×A$A×B​=B×A

矩阵的乘法满足结合律。即：$A×(B×C)=(A×B)×C$A×(B×C)=(A×B)×C

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 $I$I 或者 $E$E 表示，本讲义都用 $I$I 代表单位矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1以外全都为0。如：

$A{{A}^{-1}}={{A}^{-1}}A=I$AA−1=A−1A=I

对于单位矩阵，有$AI=IA=A$AI=IA=A

3.6 逆、转置

• 矩阵的逆：如矩阵$A$A是一个$m×m$m×m矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：$A{{A}^{-1}}={{A}^{-1}}A=I$AA−1=A−1A=I

我们一般在OCTAVE或者MATLAB中进行计算矩阵的逆矩阵。

• 矩阵的转置：设$A$A为$m×n$m×n阶矩阵（即$m$m行$n$n列），第$i $行$行j $列的元素是$列的元素是a(i,j)$，即：$，即：A=a(i,j)$定义$定义A$的转置为这样一个$的转置为这样一个n×m$阶矩阵$阶矩阵B$：

  满足$B=a(j,i)$B=a(j,i)，即 $b (i,j)=a(j,i)$b(i,j)=a(j,i)（$B$B的第$i$i行第$j$j列元素是$A$A的第$j$j行第$i$i列元素），记${{A}^{T}}=B$AT=B。(有些书记为A’=B）

  直观来看，将$A$A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到$A$A的转置。

例：

• 矩阵的转置基本性质:

$ {{\left( A\pm B \right)}^{T}}={{A}{T}}\pm {{B}^{T}} $ ${{\left( A\times B \right)}^{T}}={{B}^{T}}\times {{A}^{T}}$(A×B)T=BT×AT ${{\left( {{A}^{T}} \right)}^{T}}=A $ ${{\left( KA \right)}^{T}}=K{{A}{T}} $

MATLAB中矩阵转置：直接打一撇，x=y'。