推导泊松分布公式，先理解一些概念

 

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先说说什么是二点分布

再说说二项分布

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先说说什么是二点分布

抛一枚硬币，会出现两种情况：

出现花的一面设定为1或者出现字的一面设定为0，假设出现花的一面概率为p， 则出现字的一面为1-p

则有以下的分布列表

	1	0
概率	p	1-p

 

写成概率函数为： 

即表示， 当出现花面时，则k=1，P=p; 同理k=0， P=1-p

两点分布的期望和方差：

期望公式：

方差公式： 

 

再说说二项分布

具体概念不说， 请自行百度， 或通过与二点分布的不同自行领悟

二项分布与二点分布有什么区别呢？

性质不同

1、两点分布：在一次试验中，事件A出现的概率为P，事件A不出现的概率为q=l -p，若以X记一次试验中A出现的次数，则X仅取0、I两个值。

2、二项分布：是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。

特点不同

1、两点分布：是试验次数为1的伯努利试验。

2、二项分布：是试验次数为n次的伯努利试验。

二项分布的期望与方差：

假设次数X为n次的集合体， 即X = {x1,x2,x3,x4......xn}

则

由二点分布的期望方差可知相关公式

则二项分布的期望为：

则二项分布的方差为：

 

下面进入主题说说泊松分布

泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。

为方便记，设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n，把时间段[0,1)分为等长的n段：

我们做如下两个假定：

1. 在每段内，恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长成正比，可设为。当n很大时，很小时，在这么短暂的一段时间内，要发生两次或者更多次事故是不可能的。因此在这段时间内不发生事故的概率为。

2. 各段是否发生事故是独立的把在[0,1)时段内发生的事故数X视作在n个划分之后的小时段内有事故的时段数，则按照上述两个假定，X应服从二项分布。于是，我们有泊松分布的概率函数

怎么对概率函数进行简化呢？设期望为

则有,则, 则公式为：

其中表示组合数

 具体推导请百度，再自行领悟，或者查看最下方获得答案

则P的最新公式为：

继续推导工作：

 

则P的最新公式为：

 

由于n无穷大则，

 

则

 

最后P的公式：

       

正规的泊松分布

是不是很相似？

只需要换个符号，这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

如有相关推导公式不清楚，可以添加微信公众号，进行留言即可