MIT线性代数笔记-第十讲

4 fundamental subspace

1.column space C(A) in Rm$R^m$

2.nullspace N(A) in Rn$R^n$

3.row space(all combs of rows) C(AT$A^T$) in Rn$R^n$

4.nullspace of AT$A^T$ = N(AT$A^T$) = left null space of A, in Rm$R^m$

(图中nullspace的dimension为n - r,left nullspace的dimension为m - r)

whats the basis of row space?
看一下example,还是用的消元法获取R

A=⎡⎣⎢111212323111⎤⎦⎥−>⎡⎣⎢100010110100⎤⎦⎥$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\end{array}\right]->\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$
我们注意到,列空间改变了，而行空间没变，也就是对行的操作不会影响行空间
同时，可以得出rowspace的basis即为R的前r行

4th$4^{th}$ space :N(AT$A^T$)

ATy=0−>(ATy)T=0T−>yTA=0T(这就是为什么称为leftnullspace)$A^{T}y=0->(A^{T}y{)}^T=0^T->y^{T}A=0^T(这就是为什么称为leftnullspace)$

如何得到N(AT$A^T$),答案是Gaussian-Jordan
还记得么，之前我们通过[A,I]−>[I,A−]$[A,I]->[I,A^{-}]$得到了A的逆矩阵。现在我们仍然用这个方法，只不过右边的I替换为了R，也就是:
E[Am∗n,Im∗m]−>[Rm∗n,Em∗m]$E[A_{m\ast n},I_{m\ast m}]->[R_{m\ast n},E_{m\ast m}]$,例子如下,还是之前的A:

left null space的basis即为[−1 0 1]$\left[\begin{array}{c}-101\end{array}\right]$
同时，我们也注意到,left null space的dimension也与m - r = 3 - 2 = 1一致

new vector space
all 3*3 matrices
subspace of all 3 * 3 matrix
1.upper triangular matrices
2.symmetric matrices
3.diagonal matrices(upper triangular matrices ⋂$\bigcap$ symmetric matrices)