线性代数 线性空间

零.引入

上述例子促使我们抓住其共同特点抽象出1个数学模型:线性空间,这是线性代数研究的主要对象之一

注1:几何空间是元素是"点"的向量空间,但点可以被表示为以O为起点的向量,因此其元素也可以认为是以O为起点的向量
注2:上例1是点(或以O为起点向量)的集合,称为几何空间;上例2即向量空间;上例3是矩阵的集合,称为矩阵空间;上例4是多项式的集合,称为多项式空间;上例5是连续函数的集合,称为函数空间

一.域F上的线性空间
1.线性空间:
(1)笛卡儿积与代数运算:

(2)定义:

注1:向量空间在线性空间的基础上进一步要求集合中的元素均为向量,因此向量空间是1种特殊的线性空间
但借助几何语言,其他线性空间中的元素也可以称为向量(或者说,被表示为向量),因此,线性空间又可称为向量空间;为避免混淆,有些书上不区分"线性空间"和"向量空间",直接统称为"向量空间"
注2:习惯上把线性空间V的加法运算以及域F的元素与V的元素间的纯量乘法运算说成是V的加法运算与纯量乘法运算,统称为V的线性运算

(3)线性空间的实例:


(4)线性空间的性质:

性质1:V中的零元是唯一的

性质2:V中每个元素α的负元是唯一的,记作-α

利用负元,可在V中定义减法如下:$α-β:=α+(-β)$α−β:=α+(−β)(":=“的意思是"定义为”)

性质3:对∀α∈V,0α=0

形状4:对∀k∈F,k0=0

性质5:如果kα=0,则k=0或α=0

性质6:对∀α∈V,(-1)α=-α

2.向量集与向量组
(1)线性组合与线性表出:


(2)线性相关与线性无关:

命题1:在域F上的线性空间V中,如果向量组的1个部分组线性相关,则该向量组线性相关
命题2:在域F上的线性空间V中,包含0向量的向量集线性相关
命题3:在域F上的线性空间V中,元素个数>1的向量集W线性相关当且仅当W中至少有1个向量可以由其余向量中的有限多个线性表出,从而W线性无关当且仅当W中每1个向量都不能由其余向量中的有限多个线性表出
命题4:在域F上的线性空间V中,设向量β可由向量集W线性表出,则表示方法唯一的充要条件是:向量集W线性无关

(3)线性表出的判定:

命题5:在域F上的线性空间V中,设向量组$α_1...α_s$α1​...αs​线性无关,则向量β可由向量组$α_1...α_s$α1​...αs​线性表出的充要条件是:$α_1...α_s,β$α1​...αs​,β线性相关

(4)极大线性无关组(又称最大线性无关组)

(5)向量组等价:

引理1:在域F上的线性空间V中,设向量组$β_1...β_r$β1​...βr​可由向量组$α_1...α_s$α1​...αs​线性表出,如果r>s,则向量组$β_1...β_r$β1​...βr​线性相关

推论1(引理1的逆否命题):在域F上的线性空间V中,设向量组$β_1...β_r$β1​...βr​可由向量组$α_1...α_s$α1​...αs​线性表出,如果向量组$β_1...β_r$β1​...βr​线性无关,则$r≤s$r≤s
推论2:等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等
推论3:1个向量组的任意2跟极大线性无关组所含向量的个数相等

(6)向量组的秩:

命题6:在域F上的线性空间V中,向量组$α_1...α_s$α1​...αs​线性无关的充要条件是:$rank{α_1...α_s}=s$rankα1​...αs​=s

命题7:如果向量组$α_1...α_s$α1​...αs​可由向量组$β_1...β_r$β1​...βr​线性表出,则$rank{α_1...α_s}≤rank{β_1...β_r}$rankα1​...αs​≤rankβ1​...βr​

命题8:等价的向量组有相等的秩

3.基与维数

二.子空间
1.线性子空间
(1)定义:

(2)判定:

定理3:设U是域F上线性空间V的1个非空子集,则U是V的1个子空间的充要条件是:U对V的加法好数量乘法都封闭,即:$α,β∈U⇒α+β∈U\\ α∈U,k∈F⇒kα∈U$α,β∈U⇒α+β∈Uα∈U,k∈F⇒kα∈U

根据该定理,判定V的1个子集是V的1个子空间,需要验证3条:①U非空集②U对加法封闭②U对数量乘法封闭
显然,{0},V都是V的子空间,称它们为V的平凡子空间;{0}称为V的零子空间,记为0

(3)子空间的基与维数:

2.子空间的交与和

3.子空间的直和

三.域F上线性空间的同构

四.商空间