奈奎斯特定理&压缩感知

压缩感知是信号处理领域进入21世纪以来取得的最耀眼的成果之一，并在磁共振成像、图像处理等领域取得了有效应用。压缩感知理论在其复杂的数学表述背后蕴含着非常精妙的思想。基于一个有想象力的思路，辅以严格的数学证明，压缩感知实现了神奇的效果，突破了信号处理领域的金科玉律——奈奎斯特采样定律。即，在信号采样的过程中，用很少的采样点，实现了和全采样一样的效果。

采样定理是采样过程所遵循的规律（又称取样定理、抽样定理），说明采样频率与信号频谱之间的关系， 1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。通常信号或图像的采样须满足Shannon提出的Nyquist规则：采样率不小于最高频率的两倍(该采样率称作Nyquist采样率)。
    按照信号处理方面的知识（奈奎斯特定理），为了提取一个截止上限频率为 f 的信号，则必须用一个至少为 2f 的抽样信号才能实现。当然，用数学上的「调制」定义就能证明这一点。但是该定理在使用时存在一个问题——即奈奎斯特定理的前提是截止上限频率为 f ，如果在 f 之上还有频率成分存在，则这一高频成分会干扰到对低频信号的采样结果——即频率混叠效应。

 压缩感知（Compressive Sensing(CS)，或称Compressed Sensing、Compressed Sampling）是2006－2007年由Donoho(美国科学院院士)，Candes (Ridgelet, Curvelet创始人)，Tao(2006年菲尔兹奖获得者)等人提出的一种新的数据获取理论。该理论指出：对可压缩信号即便以远低于Nyquist采样标准采样，仍然能够精确地恢复出原始信号，因而被美国评为2007年度十大科技进展。在CS理论框架下，能够在数据获取时大幅度突破Nyquist采样定律的制约，给存储、传输和处理各种自然信号带来极大便利。CS的两个核心内容是稀疏性(sparsity)和不相关性(incoherence)：前者由信号本身决定，后者由感知系统和信号共同确定(或者单方面认为是由感知系统决定).

稀疏性:可以这样简单直观地理解：若信号在某个域中只有少量非零值，那么它在该域稀疏，该域也被称为信号的稀疏域。通常信号在变换域中不会呈现完全的稀疏性。其实只要它近似满足稀疏性，即大部分值趋于零，只有少量大的非零值，就可以认为它是可压缩信号，可以对它进行CS亚采样。如果它在频域中不稀疏，我们可以做DWT、DCT等，找到它的稀疏变换。

PS :图像压缩是先进行了全采样，然后再变换域丢弃小系数，完成压缩；而压缩感知不同，它的思想其实从图像压缩中借鉴了很多：既然全采样了还要再丢弃，我们为什么不能直接少采样一些点？因此，压缩感知直接进行了亚采样，然后再用算法消除亚采样导致的伪影。可以说，压缩感知直接在采样时就完成了压缩。