这学期学习了离散数学Ⅱ这门课程，离散数学Ⅱ包含了群、环、域、格、布尔代数五个代数系统

1.代数系统

1. 代数系统：非空集合A，连同若干个在该集合上的封闭运算f1，f2，…，fn所组成的系统，记为<A，f₁，f₂，……，f_n>
2. 代数系统的组成：载体（非空集合A），定义在载体上的运算，代数常元
3. 代数运算的性质：交换律，结合律，分配律，吸收律（x*（x^oy）=x），等幂律（x*x=x）
4. 代数常元：
   幺元（单位元）：左幺元：e_l * x=x 右幺元：x * e_r=x
   零元：左零元：θ_l * x=θ_l 右零元：x * θ _r=θ _r
   逆元：x*y=e -----> x是y的左逆元，y是x的右逆元

2.子代数

1. 子代数：<A，*，Δ，K>是代数系统，是二元运算，Δ是一元运算，K是代数常元，若：①. A^|⊆A ②. 和Δ在 A^|封闭 ③. K∈ A^| ，那么<A^|，，Δ，K>是<A，，Δ，K>的子代数
2. 平凡子代数： T是A中代数常元的集合，且*和Δ在T封闭，则<A， * ，Δ>和<T， * ，Δ>是<A， * ，Δ>的平凡子代数
3. 非平凡子代数（真子代数）：不是平凡子代数的子代数

3.同态

1. 同态：A=<S，，Δ，K>和 A^| =<S^| ，^| ，Δ^| ，K^| >是两个具有相同构成的代数系统，f是S到S^|的一个映射，对任意a，b∈S，有f（a*b）=f（a） *^| f（b），f（Δa）=Δ^|f（a），==f（k）=K^| ==（先函数再运算=先运算再函数），则称F是A到A^|的同态映射，称A同态于A^|，A~A^|
2. 同态象：<f(S) ，*^|，Δ^| ，K^| >为A在f下的同态象，f(S)={X|X=f(a)，a∈S}∈S^|
3. 分类1：
4. 满同态：f 满射
5. 单一同态：f 单射
   分类2：
6. 同构：f 双射
7. 自同态：A^|=A
8. 自同构：A^|=A且f 双射

4.同余

1. 同余：A=<S，*，Δ>是代数系统，~是S上的等价关系，a、b、c∈S
   ①. a~b时，若Δa ~ Δb，则等价关系 ~在一元运算Δ下可保持，称 ~是关于Δ的同余关系
   ②. a~b，c ~d时，若a * c ~ b * d，则等价关系 ~在二元运算 * 下可保持， ~是关于 * 的同余关系
2. 由函数g引导的S上的等价关系 ~ 为：任取a，b∈S，a ~ b当且仅当g(a)=a(b)

5.半群和独异点

1. 截图自课堂ppt
   
2. 由于结合律的可继承性，半群的子代数也是半群，即子半群
3. 子独异点：<S， * ，e>是独异点，T∈S， * 在T封闭，e∈T，那么<T，，e>是<S， * ，e>的子代数，而<T，，e>本身也是一个独异点，所以是<S，*，e>的子独异点
4. 循环独异点：<S， * ，e>是独异点，若存在g∈S，对于任意a∈S，都有一个对应的k∈N使得a=g^k，则称<S，*，e>是循环独异点，g是此循环独异点的生成元

6.群

1. 群的性质：
   ①. 群中无零元
   ②. 群中每个元素的逆元唯一
   ③. <G， * >是群，任意a，b∈G，必存在唯一的x∈G，使得a * x=b
   ④. <G， * >是群，任意a，b∈G，若a * b=a * c或b * a=c * a，则必有b=c
   ⑤. <G， * >是群，除幺元外，不可能有唯一的等幂元
   ⑥. 群<G， * >运算表中每一行每一列都是G中元素的一个置换
2. 群中元素的阶：使该元素的幂为幺元的最小正整数
3. 子群：<G， * >是群，S是G的非空子集，若<S， * >也构成群，则<S，*>是<G， * >的子群
   平凡子群：<G， * >和<{e}， * >是<G， * >的平凡子群
4. 群同态：<G， * >和<H，@>是两个群，有映射：h：G→H，若任意a，b∈G，都有h（a * b）=h(a)@h(b)，则h为从<G， * >到<H，@>的群同态，<h(H)，@>是<G， * >的同态象
5. 同态核：设h是从<G， * >到<H，@>的一个同态映射，e_H是<H，@>中的幺元。ker(h)={x|x∈G∧h(x)=e_H}，称ker(h)为群同态映射h的核，简称h的同态核
   
6. 阿贝尔群（交换群）：<G， * >是群，若 * 可交换，则该群为abel群
7. 循环群：<G， * >是群，若存在g∈G，使得任意a∈G都能表示成 gⁱ （i是整数）的形式，则称<G， * >是循环群，g是循环群的生成元
8. 循环独异点：<S， * ，e>是独异点，若存在g∈S，对于任意a∈S，都有a=g^k(k是整数)，称此独异点为循环独异点，g为此循环独异点的生成元
9. 培集：<H， * >是<G， * >的子群，a∈G，则集合aH={ab| b∈H}称为由a确定的H在G中的左培集，G称为左培集aH的代表元素，Ha={ba| b∈H}是右培集
10. 拉格朗日定理：设<H， * >是<G， * >的一个子群，那么有：
    ①R={<a，b > | a∈G ∧ b∈G ∧ a^-1 *b∈H}是G中的等价关系，且有[a]_R=aH
    ②若G是有限群，|G|=n，|H|=m，则m|n
    推论：
    ①任何质数阶的群没有非平凡子群
    ②<G， * >是n阶有限群，对于任意a∈G，a的阶数必为n的因子，且aⁿ=e
    ③质数阶的群必为循环群，并且任何与幺元不同的元素均可作为生成元

7.环和域

1. 环：<A，+，·>是一个代数系统，若满足：
   ①. <A，+>是abel群
   ②<A，·>是半群
   ③乘法 · 对加法+可分配
   则称<A，+， · >是环
2. 交换环：<A，+， · >是环，且运算 · 可交换
3. 含幺环：<A，+， · >是环，且<A， · >中含幺元
4. 无零因子环：<A，+， · >是环，θ是A中关于运算+的幺元。若a，b∈A，a≠θ，b≠θ，但a · b=θ，则称a，b为零因子，<A，+， · >是含零因子环，否则<A，+， · >是无零因子环
5. 整环：<A，+， · >是代数系统，若：
   ①<A，+>是abel群
   ②<A，·>是可交换独异点，且无零因子
   ③乘法 · 对加法+可分配
   则称<A，+， · >是整环
6. 域：<F，+， · >是代数系统，θ是F中关于运算+的幺元，若：
   ①<F，+>是abel群
   ②<F-{θ}，·>是abel群
   ③乘法 · 对加法+可分配
   则称<F，+， · >是域
   域一定是整环

8.格

1. 最小上界（上确界） lub
   最大下界（下确界） glb
2. 偏序格：设<L, ≤>是一个偏序集，如果集合L中的任意两个元素都有最小上界和最大下界，则称<L, ≤>为偏序格。
3. 保交运算 a∧b = glb{a, b},求a,b的最大下界
   保联运算 a∨b = lub{a, b},求a,b的最小上界
4. 代数格：设<L, ≤>是一个偏序格，在L上可以定义两个运算∧和∨，则称<L, ∧, ∨>为格<L, ≤>所诱导的代数系统，简称代数格。
5. 格：设<A, ∧, ∨>是一个代数系统，其中运算∧和∨都是二元运算，且满足交换律，结合律，吸收律，则称<A, ∧, ∨>是格

9.子格

1. 设<L, ≤>是一个格，<L, ∧, ∨>是由<L, ≤>所诱导的代数系统。S∈L且S≠∅， 如果L中的两个运算∧和∨在S上是封闭的，则称<S, ≤>是<L, ≤>的子格。
2. 格同态：设<L1, ≤>和<L2, ≤>是两个格，由它们所分别诱导的代数系统为<L1,∧,∨>和<L2,∧’,∨’>，如果存在一个从L1到L2的映射f,使得任取a,b∈L1满足
   f(a∧b)=f(a) ∧’f(b)
   f(a∨b)=f(a) ∨’f(b)
   则称f为从<L1, ≤>到<L2, ≤>的格同态，称
   <f(L1), ≤>为<L1, ≤>的同态象。
3. 格同构：设f是从格<L1, ≤>到格<L2, ≤’>的格同态，若f是双射函数，则称f为从<L1, ≤>到<L2, ≤’>的格同构。
   

10.特殊的格

1. 分配格：设<L, ∧, ∨>是由格<L, ≤>所诱导的代数系统，如果对任意的a,b,c∈L,满足：
   a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
   a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
   则称<L, ≤>是分配格。
   钻石格，五角格不是分配格
2. 全上界(全下界)：如果格<L, ≤>中存在一个元素a,对于任何元素b∈L,均有b ≤a(a ≤b),则称a为格<L, ≤>的全上界(全下界)。通常将全上界记为“1”，而将全下界记为“0”。
3. 既有全上界又有全下界的格是有界格
4. 补元：设<L, ≤>是一个有界格，对于L中一个元素a,如果存在元素b∈L,使得a∧b=0, a∨b=1,则称元素b是a的补元，记为a’=b。同时，a也是b的补元，即b’=a。
5. 有补格：在一个有界格中，若每个元素至少有一个补元，则称此格为有补格。
6. 布尔格：若一个格既是有补格又是分配格，则称此格为布尔格

11.布尔代数与布尔表达式

1. 布尔代数：由布尔格<B, ≤>可以诱导的代数系统<B, ∧, ∨,’>
2. 有限布尔代数：载体含有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数
3. 布尔代数的性质：交换律，分配律，同一律，互补律
4. 覆盖：设a,b是一个格中的两个元素，如果b≤a且b≠a,即b<a,并且在此格中再没有别的元素c,使得b<c和c<a,则称元素a覆盖元素b
5. 原子：设<A,≤>是一个格，且具有全下界0,如果有元素a∈A, a盖住0，则称元素a为原子。
6. 布尔表达式：
   布尔常元：设<B, ∧, ∨,’>是一个布尔代数，称B中的元素为该布尔代数的布尔常元
   布尔变元：设<B, ∧, ∨,’>是一个布尔代数，称取值于B中元素的变量为该布尔代数的布尔变元。
   ①单个布尔常元和单个布尔变元是布尔表达式。
   ②如果e1和e2是布尔表达式，则e1’,(e1∨e2),(e1∧e2)也是布尔表达式。
   ③只有有限次应用(1)和(2)所构造的符号串是布尔表达式。
7. 布尔表达式等价：设布尔代数<B, ∧, ∨,’>上两个n元的布尔表达式为E1(x1,x2,…,xn)和E2(x1,x2,…,xn),如果对于n个变元的任意赋值xi=xi〞, xi〞∈B时均有
   E1(x1〞,x2〞,…,xn〞)= E2(x1〞,x2〞,…,xn〞)
   则称这两个布尔表达式是等价的。记作
   E1(x1,x2,…,xn)=E2(x1,x2,…,xn)

整理不易！