泛函分析笔记(八) 凸集和凸函数
1. 凸集
线段: 给定向量空间的两点 a 和 b ,集合 [ a , b ] : = { x ∈ X ; x = λ a + ( 1 − λ ) b , 0 ≤ λ ≤ 1 } [a,b]: = \{ x\in X; x= \lambda a + (1-\lambda)b,0\le \lambda \le 1\} [a,b]:={x∈X;x=λa+(1−λ)b,0≤λ≤1} 是以a,b为端点的线段或闭线段。
没错没错,就是闭区间,几乎一毛一样。只不过这个点不再局限于是数轴上的点了,而是可以是任意向量空间的点。
凸集: 向量空间X的子集A若包含a,b 两点,则包含线段 [a,b],称集合A为凸集。空集和单点集都是凸集,凸集的交集还是凸集。
灵魂画手绘图大概就是这样,只要集合里面有凹下去的地方,就必然有两点的连线不在集合内。如果任意两点的连线都在集合内,那么肯定一点凹都没有,那就是凸集。
凸包: A是X的子集,X中包含A的最小凸子集叫A的凸包 c o A co ~ A co A
凸组合: A中元素的凸组合是指元素
a
i
∈
A
a_i\in A
ai∈A 的有限线性组合
Σ
i
∈
I
λ
i
a
i
\Sigma_{i\in I} \lambda_i a_i
Σi∈Iλiai 满足对一切的
i
∈
I
i\in I
i∈I 有
λ
i
≥
0
,
∑
i
∈
I
λ
i
=
1
\lambda_i \ge 0,~ \sum_{i\in I}\lambda_i = 1
λi≥0, ∑i∈Iλi=1
这个凸组合就是系数和为1的有限线性组合咯。
- A的凸包就是由A的元素的所有凸组合构成的X的子集。
2. 凸函数
X 为向量空间,A为X的凸子集,如果函数 f : A → R f:A\to\mathbb{R} f:A→R 满足对任意点 a , b ∈ A a,b\in A a,b∈A 和所有的 0 ≤ λ ≤ 1 0\le \lambda \le 1 0≤λ≤1 均有 f ( λ a + ( 1 − λ ) b ) ≤ λ f ( a ) + ( 1 − λ ) f ( b ) f(\lambda a+(1-\lambda)b) \le \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b) f(λa+(1−λ)b)≤λf(a)+(1−λ)f(b) ,则其为凸函数,如果不取等号,那就是严格凸函数。
推论: 如果f是凸的,有
∑
i
=
1
n
λ
i
=
1
,
f
(
∑
i
=
1
n
λ
i
a
i
)
≤
∑
i
=
1
n
λ
i
f
(
a
i
)
\sum_{i=1}^n \lambda_i =1,f(\sum_{i=1}^n\lambda_i a_i) \le \sum_{i=1}^n\lambda_i f(a_i)
i=1∑nλi=1,f(i=1∑nλiai)≤i=1∑nλif(ai)
这个其实就是说在任一点处函数的割线(这个点应该在割线两点之间)比函数值要大。比如画个最简单的x的平方的图像和一个割线
所以从图像的直观感觉而言,应该是函数向下凸出的时候是凸函数,如果给它反一下的话
这就是凹函数了。
若函数 − g : A → R -g:A\to \mathbb R −g:A→R 是凸的/严格凸的,那么 g : A → R g:A\to\mathbb{R} g:A→R 是凹的/严格凹的
- 如果X是实向量空集,线性泛函 l : X → R \mathcal{l}:X\to \mathbb{R} l:X→R 是凸的,但不是严格凸的。
- 如果 ( X ; ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ) (X;||\cdot||) (X;∣∣⋅∣∣) 是赋范向量空间,范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ; X → R ||\cdot||;X\to\mathbb{R} ∣∣⋅∣∣;X→R 是凸函数。 (由三角不等式易得。)