通俗理解泊松分布

1.甜在心馒头店

  公司楼下有家馒头店：

  每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？
  老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：

  均值为:

$\bar{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5$Xˉ=53+7+4+6+5​=5

  按道理讲均值是不错的选择，但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖，40% 的时间不够卖：

  你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

2. 老板的思考

  老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用T来表示:

  然后把周一的三个馒头（“甜在心馒头”，有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：

  把 T 均分为四个时间段：

  此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：

  在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：

  T内卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。
  这样的概率通过二项分布来计算就是:

$C_4^3p^3(1-p)^1$C43​p3(1−p)1

  但是，如果把周二的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了：

  从图中看，每个时间段，有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

  解决这个问题也很简单，把 T 分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：

  这样，T内卖出7个馒头的概率就是（相当于抛了20次硬币，出现7次正面）

$C_{20}^7p^7(1-p)^{13}$C207​p7(1−p)13

  为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成 n 份:

$C_{n}^7p^7(1-p)^{n-7}$Cn7​p7(1−p)n−7

  越细越好，用极限来表示：

${\lim\limits_{n\to+\infty}}C_{n}^7p^7(1-p)^{n-7}$n→+∞lim​Cn7​p7(1−p)n−7

  更抽象一点，T 时刻内卖出 k 个馒头的概率为：

${\lim\limits_{n\to+\infty}}C_{n}^kp^k(1-p)^{n-k}$n→+∞lim​Cnk​pk(1−p)n−k

3.p的计算

  “那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率 p 怎么求？”
  在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：

$E(X)=np=\mu$E(X)=np=μ

  那么:

$p=\frac{\mu}{n}$p=nμ​

4.泊松分布

  有了$p=\frac{\mu}{n}$p=nμ​了之后，就有：

$\lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}$n→∞lim​(kn​)pk(1−p)n−k=n→∞lim​(kn​)(nμ​)k(1−nμ​)n−k

  我们来算一下这个极限：

$\begin{array}{l l l} \lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k} \\ \\ = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\mu^k}{n^k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k} \\ \\ = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\mu^k}{k!}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n \end{array}$n→∞lim​(kn​)(nμ​)k(1−nμ​)n−k=n→∞lim​k!n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)​nkμk​(1−nμ​)n−k=n→∞lim​k!μk​nn​⋅nn−1​⋯nn−k+1​(1−nμ​)−k(1−nμ​)n​

  其中

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}=1$n→∞lim​nn​⋅nn−1​⋯nn−k+1​(1−nμ​)−k=1

$\lim\limits_{n \to \infty}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n = e^{-\mu}$n→∞lim​(1−nμ​)n=e−μ

  所以：

$\lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$n→∞lim​(kn​)(nμ​)k(1−nμ​)n−k=k!μk​e−μ

  上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在 T 时间内卖出 k 个馒头的概率为：

$P(X=k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$P(X=k)=k!μk​e−μ

  一般来说，我们会换一个符号，让 $\mu=\lambda$μ=λ ，所以：

$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$P(X=k)=k!λk​e−λ

  这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数.

5.馒头店的问题的解决

  老板依然蹙眉，不知道$\mu$μ啊？
  没关系，刚才不是计算了样本均值：

$\overline{X}=5$X=5

  可以用它来近似：

$\overline{X}\approx\mu$X≈μ

  于是：

$P(X=k)=\frac{5^k}{k!}e^{-5}$P(X=k)=k!5k​e−5

  画出概率密度函数的曲线就是：

  可以看到，如果每天准备8个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来：

  这样 93% 的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。
  老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”

6.二项分布与泊松分布

  鉴于二项分布与泊松分布的关系，可以很自然的得到一个推论，当二项分布的p很小的时候，两者比较接近：