离散数学笔记系列（七）

一、代数系统：（非空+封闭）

• 定义：

  

• 单位元：（代数系统不一定有单位元）

• 零元：（代数系统不一定有零元）

• 逆元：（元素的性质，同样不一定有）
  
• 代数系统同态：

• 代数系统同构：

二、群：（代数系统+结合律+幺元+逆元）

• 半群：满足结合性的代数系统

• 幺半群/独异点：有幺元的半群

• 群：每个元素都有逆元的幺半群

• 交换群/阿贝尔群：满足交换律的群

• 群论公理：

• 群的阶数：

• 克莱因四元群：所有元素的阶都是2， 且它是最小的非循环群，不同构于模n剩余加群

• 群的运算性质：

• 群方程定理：

• 子群定义：

• 子群判定定理：
  

• 群元素的阶：（有限群中阶数大于2的有偶数个）
  

• 陪集：（任意子群的左/右陪集构成原群的一个划分）

• 拉格朗日定理：（可推出：子群阶数|群阶数，考虑到特殊的生成子群阶数，亦可得元素阶数|群阶数）

• 循环群：（生成元的阶数等于群阶数，循环群一定是阿贝尔群）

• 无限循环群的生成元：
  

• n阶循环群的生成元：

• n阶循环群的子群：

• 群同构：（群同态同理可得）
  

三、格：（代数系统+结合律+交换律+吸收律）

• 偏序格：

• 代数格：

  

• 格的对偶原理：

• 代数格等价于偏序格：

• 子格：（注意子格不是子图，运算仍然是L中的，而不是子格所在子图中的）

• 格同构：

• 分配格：

• 分配格判定定理：

• 有界格：（一般有界格的元素不一定有补元，也可能有多个补元）

• 有补格：

  

四、布尔代数：（有补分配格）

• 定义：

• 布尔恒等式：

• 有限布尔代数的表示定理：

• 布尔函数：