3.cross product

3.1 introduction

继续深入vector的属性，cross product 也具有几何和行列式上的duality。
在第3部分讲到的dot product是linear function
定义$f(w)=v^Tw$f(w)=vTw
有$f(w_1+w_2)=v^Tw_1+v^Tw_2$f(w1​+w2​)=vTw1​+vTw2​
$f(c*w)=cv^T*w$f(c∗w)=cvT∗w
而cross product（表示向量组成的面积或体积）也是linear function。
以2d为例，$\color{red}向量构成的面积在变换前后是线性的。$向量构成的面积在变换前后是线性的。
$f(s)=det(A)*s \rightarrow s_{out}=s_{in}*det(A)$f(s)=det(A)∗s→sout​=sin​∗det(A)

3.2行列式

3.2.1行列式的几何意义

对于2维空间，行列式表示向量$\vec{v}和\vec{w}$v和w所组成的面积，因为$\vec{v},\vec{w}是\vec{i},\vec{j}$v,w是i,j​通过矩阵变换得到的，对变换前向量组成的面积扩大了det(A)倍。
如果det(A)=0，矩阵变换时出现了降维。

数值上的对应,通过下面这个图，能确信det(A)，确实是代表向量所组成的面积的。
$\left|\begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \end{array}\right| = ad-bc$∣∣∣∣​ac​bd​∣∣∣∣​=ad−bc

对于3维空间，det(A)表示三向量组成的体积，或者是变换前后单位体积发生的变化。

3.2.2行列式的定义

上面只是从几何的方式对行列式进行理解，实际在应用行列式的时候，只要满足行列式的头三个属性，模型就可以用行列式表达。

• $detI=1$detI=1
• 行交换，则符号发生变动（定义方向）
• 线性:从几何的角度理解，每个向量对面积（或体积的影响是线性的）
  $\left|\begin{array}{cccc} ta & tb \\ c & d \\ \end{array}\right| =t \left|\begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right| \tag{3.1}$∣∣∣∣​tac​tbd​∣∣∣∣​=t∣∣∣∣​ac​bd​∣∣∣∣​(3.1)

$\left|\begin{array}{cccc} a+a' & b+b' \\ c & d \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} a' & b' \\ c & d \\ \end{array}\right| \tag{3.2}$∣∣∣∣​a+a′c​b+b′d​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​ac​bd​∣∣∣∣​+∣∣∣∣​a′c​b′d​∣∣∣∣​(3.2)
从几何的角度理解行列式的其他性质：
det(AB)=det(A)det(B),变换一次面积（或体积）改变相应大小。

3.2.3行列式的计算

• 用高斯消去的方法
  高斯消去法的第一个工具是行之间互减：
  $\left|\begin{array}{cccc} a & b \\ c-ak & d -bk \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right| -k \left|\begin{array}{cccc} a & b \\ a & b \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right|$∣∣∣∣​ac−ak​bd−bk​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​ac​bd​∣∣∣∣​−k∣∣∣∣​aa​bb​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​ac​bd​∣∣∣∣​
  高斯消去法的第二个工具是行之间互换，这是行列式的性质2，但是这种计算繁琐，适合计算机去做。
• 代数余子式（cofactors）
  利用了行列式的性质3，就不详细叙述了。

3.3cross product 和行列式

3.3.1从3维空间的行列式开始

三个向量$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$u,v,w假设$\vec{u},\vec{v}$u,v固定不变，只改变$\vec{w}(x,yz)$w(x,yz)
$f(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix})= \left|\begin{array}{cccc} x & u_1 & v_1 \\ y & u_2 & v_2 \\ z & u_3 & v_3 \end{array}\right|$f(⎣⎡​xyz​⎦⎤​)=∣∣∣∣∣∣​xyz​u1​u2​u3​​v1​v2​v3​​∣∣∣∣∣∣​
$\color{red}因为行列式是线性的，所以这个方程是线性的，\textbf{线性方程可以用matrix表示}$因为行列式是线性的，所以这个方程是线性的，线性方程可以用matrix表示
存在matrix p(1 by 3,因为行列式是一个数)，使得$p[x\;y\;z]=det(A)$p[xyz]=det(A)

从几何上来看，如果matrix p 的$\color{red}dual\, vector$dualvector $\vec{p}是\vec{u}和\vec{v}组成平面的法向量$p​是u和v组成平面的法向量则满足。

同时因为
$\vec{u} \times \vec{v}=\vec{p} \\ \vec{p} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \left|\begin{array}{cccc} x & u_1 & v_1 \\ y & u_2 & v_2 \\ z & u_3 & v_3 \end{array}\right|$u×v=p​p​⋅⎣⎡​xyz​⎦⎤​=∣∣∣∣∣∣​xyz​u1​u2​u3​​v1​v2​v3​​∣∣∣∣∣∣​
如果令$\vec{w}$w全为1，就得到了cross product的公式：
$\vec{u} \times \vec{v}= \left|\begin{array}{cccc} i & u_1 & v_1 \\ j & u_2 & v_2 \\ k & u_3 & v_3 \end{array}\right|$u×v=∣∣∣∣∣∣​ijk​u1​u2​u3​​v1​v2​v3​​∣∣∣∣∣∣​
$\color{red}矩阵的面积在矩阵变换前后是线性$矩阵的面积在矩阵变换前后是线性这个属性非常重要，在Cram法则中就有了很大应用。同时Cram法则对理解线性代数的线性也有很大的帮助

3.4Cram rule

利用面积的线性变换（linear operator）对应的是一个linear function,Cram法则提出了，如果在求解Au=w问题时，一开始取$\vec{u}$u和$\vec{i}$i组成的面积，这个面积经过linear operator,还会获得一个新面积，这个面积是$\vec{w}和\hat{i}$w和i^的cross product.
以下图为例：
$1*y*det(A)= \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & w_1 \\ a_{21} & w_2 \end{array}\right|$1∗y∗det(A)=∣∣∣∣​a11​a21​​w1​w2​​∣∣∣∣​

二维是帮助我们理解的，对于高维空间，
1）step1:如果现在求$y$y,取$\vec{i},\vec{k}, ....,\color{red}注意没有\vec{j}$i,k,....,注意没有j​组成行列式（几何上理解是面积、体积），$det(Area_{in})=y$det(Areain​)=y;
2）step2:线性变换后的这些向量组成的行列式为
$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & w_1 & ... & a_{1n} \\ a_{21} & w_2 & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & w_n & ... & a_{nn} \end{array}\right|$∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​...an1​​w1​w2​...wn​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​
3)step3:求得y为：
$y=\frac{ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & w_1 & ... & a_{1n} \\ a_{21} & w_2 & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & w_n & ... & a_{nn} \end{array}\right| }{det(A)}$y=det(A)∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​...an1​​w1​w2​...wn​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​​
4)step4:其他的同样这么做

Reference

[1] https://www.youtube.com/channel/UCYO_jab_esuFRV4b17AJtAw
[2] https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm