方向导数定义

• $f$f在$P_0(x_0,y_0,z_0)$P0​(x0​,y0​,z0​)某邻域$U(P_0)$U(P0​)有定义
• $l$l为从$P_0$P0​出发的射线，$P(x,y,z)$P(x,y,z)为$l$l上任一点
• $\rho$ρ为$P,P_0$P,P0​之间的距离，若以下极限存在$\lim\limits_{\rho\to 0^+}\frac{f(P)-f(P_0)}{\rho}=\lim\limits_{\rho\to 0^+}\frac{\triangle_lf}{\rho}$ρ→0+lim​ρf(P)−f(P0​)​=ρ→0+lim​ρ△l​f​则称该极限为$f$f沿$l$l的方向导数,记为$\frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{P_0},f_l(P_0),f_l(x_0,y_0,z_0)$∂l∂f​∣∣∣​P0​​,fl​(P0​),fl​(x0​,y0​,z0​)

定理17.6（偏导与方导联系）

• $f在P_0(x_0,y_0,z_0)$f在P0​(x0​,y0​,z0​)可微
• $\Rightarrow f在P_0$⇒f在P0​沿任一方向$l$l的方向导数都存在，且$f_l(P_0)=f_x(P_0)\cos \alpha+f_y(P_0)\cos \beta+f_z(P_0)\cos \gamma$fl​(P0​)=fx​(P0​)cosα+fy​(P0​)cosβ+fz​(P0​)cosγ其中$\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma$cosα,cosβ,cosγ是方向$l$l的方向余弦
• 关于$\alpha,\beta,\gamma$α,β,γ，它的几何意义是向量与$x,y,z$x,y,z轴的夹角，通常的求法有两种
  • 法1：已知$P_0$P0​和 $l$l上任一点$P(x,y,z)$P(x,y,z),则$\begin{cases}\cos\alpha=\frac{\triangle x}{\rho}\\\cos\beta=\frac{\triangle y}{\rho}\\\cos\gamma=\frac{\triangle z}{\rho}\end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​cosα=ρ△x​cosβ=ρ△y​cosγ=ρ△z​​
  • 法2：这个就比较简单了，直接给你$l$l的方向，比如$(a,b,c)$(a,b,c)，那么$\begin{cases}\cos\alpha=\frac{a}{\rho}\\\cos\beta=\frac{b}{\rho}\\\cos\gamma=\frac{c}{\rho}\end{cases},\rho=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$⎩⎪⎨⎪⎧​cosα=ρa​cosβ=ρb​cosγ=ρc​​,ρ=a2+b2+c2​当时我还疑惑了一下，为什么直接用$l$l就可以做出来了，也没用到$P_0$P0​啊？后来周老师的解答让我豁然开朗啊！法1中的P是任意取的$l$l上的一点，为啥可以任意呢？是不是说明，这些个角和P的选择没有关系，只要$l$l确定就可以求了呢？那反过来，$l$l的方向余弦与$P_0$P0​又有关系吗？不要被上面的假象迷惑了，上面那种求法适合在已知$P,P_0$P,P0​的情况下用;且这里的$l$l，仔细看上面的图，它经过了$P_0$P0​点，你确定每个$l$l都要必须经过$P_0$P0​点吗？显然这里的$l$l是平移得到的，既然$l$l可以平移，那为什么不能看做是原点$O$O平移到了$P_0$P0​点？是不是也行？既然如此，那就把它变回去，所以这里的分母其实是$a-0,b-0,c-0$a−0,b−0,c−0

梯度

• $f$f在$P_0(x_0,y_0,z_0)$P0​(x0​,y0​,z0​)存在对所有自变量的偏导
• 则称$(f_x(P_0),f_y(P_0),f_z(P_0))$(fx​(P0​),fy​(P0​),fz​(P0​))为$f$f在$P_0$P0​处的梯度，记为$grad\ f=(f_x(P_0),f_y(P_0),f_z(P_0))$grad f=(fx​(P0​),fy​(P0​),fz​(P0​))
• 梯度的模为$|grad\ f|=\sqrt{f_x(P_0)^2+f_y(P_0)^2+f_z(P_0)^2}$∣grad f∣=fx​(P0​)2+fy​(P0​)2+fz​(P0​)2​
• $l$l方向上的单位向量为$l_0=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$l0​=(cosα,cosβ,cosγ)SO,方向导数公式也有$f_l(P_0)=grad\ f(P_0)\cdot l_0=|grad\ f(P_0)|\cos\theta$fl​(P0​)=grad f(P0​)⋅l0​=∣grad f(P0​)∣cosθ $\theta$θ为梯度向量$grad f(P_0)$gradf(P0​)与$l_0$l0​的夹角
  • 由上可得，若要取得$f_l(P_0)$fl​(P0​)的最大值$|grad \ f(P_0)|$∣grad f(P0​)∣,$\cos\theta=1,\theta=0$cosθ=1,θ=0，即$f$f在$P_0$P0​的梯度方向是$f$f值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率=梯度的模；$\theta=\pi$θ=π时，$f$f减少得最快

注意！

• $f$f在一点$P_0$P0​可微$\Rightarrow$⇒在该点方向导数存在
• 方向导数存在$\nRightarrow f$⇏f在该点连续，反之也不成立